無理数

この項は無理数とあるがまずは無理数の主役ともいうべき平方根から学んで行こう。
 二乗してaになる数をaの平方根という。5というのは二乗すれば25だから、
5は25の平方根である。と同時に(-5)を二乗しても25になるので、
(-5)も25の平方根である。とある数の平方根は基本的にプラスとマイナスの二つあるといえる。
aの二つの平方根を上のように表わし、左から、｢ルートa」｢マイナスルートa」とそれぞれ読む。

ここで注意すべきことはaはマイナスの数ではありえないということである。
というもの正の数負の数いずれを二乗してもマイナスの数にはなり得ないからである。
実際高校の数学ではaがマイナスの場合も取り扱うが、ここでは中学の範囲のみを扱う。

さて、平方根の大小だが、a>b>0のとき、上のような関係が成り立つ。
最も考えなくても当たり前のように感じられるだろうが。
さて今後のルートの表示について、文章や式の中では�浮ﾌ記号とカッコを用いて示す。
コンピューターの性能上きちんとしたルートの形が文章中に示せないので果たしてルートの中身は
何なのかは大かっこ[]でくくられた部分であると考えてほしい。

では次に、平方根の計算に移って行こう。まず足し算引き算だが同じ数、
文字のルートを持つ項はそのルートの係数を足し合わせて一つにすることができる。
例えば、
          2�票3]+3�票3]=5�票3]
 というように。�票3]で二つの項をくくったともいえる。
引き算も同様。 2�票3]-3�票3]=-�票3]
          これを文字を使って表わすと、上の式のようになる。

ではかけざん割り算はどうか。まずルートどうしでかけたり割ったりするときは
ルートの中身でまずかけたり割ったりして、それにルートをかぶせればよい。
          �票2]×�票3]=�票6] �票2]/�票3]�票2/3] というように。
また a=�票a2] とできることを利用して、a�票b]を�票a2b]というように直すことがある。
          (例)3�票5]=�票32]�票5]=�票45] �票5]/3=�票5]/�票32]=�票5/9] 
というようにする。これらの式を文字を使って表わすと、上のようになる。

さて今後様々な問題でルートは出てくるのだが、最終的なきれいな答えをかくために必要な作業に
分母の有理化という作業がある。これは分数の分母に平方根があるとき、
分母に平方根がない形にすることである。分母に一つだけルートがある場合
そのルートを分母分子両方にかければいいだけのことなので非常に簡単である。
          (例)2/�票3]=2×�票3]/�票3]×�票3]=2�票3]/3
 ところが分母に二つ平方根がある時は乗法公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 を用いる。
具体例をあげよう。
 (例)2/�票5]-�票3]=2×(�票5]+�票3])/(�票5]-�票3])(�票5]+�票3]) =2�票5]+2�票3]/2
          =�票5]+�票3]
 分母が足し算の形になっているときは差の式を、引き算の形になっているときは和の式を分母分子に
かければよい。 さてここまでずっと平方根の話をしてきたわけだが、ここでこのページのタイトル
無理数というものにたちかえってみよう。そもそも無理数というものの前に有理数というものがあり
それは
          a/b(a,bは整数、a/bは互いに素）
というふうに表わさせるものである。互いに素というのは1以外に公約数を持たないということである。
つまりa/bはこれ以上約分されないということでもある。そしてこの分数の形で表わされる数が有理数
であり、逆にこの分数の形で表わされることのない数が無理数である。
平方根の多くは無理数である。果たしてあなたは�票2]を整数の分数で表わすことができるか、
というと絶対にできない。しかし�票4],�票9]などは2、3と等しいのでこれらは無理数ではない。
また有理数を小数の形で表わすと、とある桁数で表わされるか、循環小数となるかいずれかであるのに対し、
無理数を小数の形で表わそうとすると、小数点以下桁が無限に続き、
しかもその数の並びは何の規則性も持っていないという特徴を持っている。
ちなみに円周率πも無理数である。