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式の計算
<語句>
単項式：数字と文字で乗法の形でできている式。符号を含める。
(例)-3ab,4,5a
多項式：単項式の和の形で表わされる式。ようするに+-で単項式が結ばれたもの。
(例)-3ab+4-5a
単項式の次数：かけ合わせている文字の数｡
(例)5abだったら、次数は2
多項式の次数：それぞれの単項式の次数の中で最も高い次数がその多項式の次数｡
(例)-3ab+4-5aたっだら-3abの次数が2で各単項式の中では最も高い次数なのでこの多項式の次数は2。
☆ここで注意すべきことで、とある文字だけを見てその文字に関して何次であるか見るときもある｡
例えばさっきの-3ab+4-5aでbという文字だけ見たら、これは一次式である｡aに関しての次数、
bに関しての次数などをきかれるときは、その文字以外のすべての文字を無視して次数を考えればよい。
さて、実際の計算をするにあたって必要なのは、｢文字を使った計算｣のページに詳しくあるが、
同類項をまとめるという作業である｡簡単に言うならば同じ文字を持つ項を分配法則を用いて
一つにまとめるということである｡
(例) (2x+y-1)-(3x-4y+2) =2x+y-1-3x+4y-2･･････カッコをはずした。
=(2-3)x+(1+4)y-1-2･･････同類項どうしをまとめる｡
=--x+5y-3 上の計算は非常に丁寧にやっているが、実際はうえから二番目三番目の式は省略可。
指数の計算 指数の計算について下のような法則がある｡
①am×an=am+n
②(am)n=amn
③(ab)m=ambm
④(a/b)m=am/bm
⑤am÷bn=am-n
ここではあえて説明しないが、m,nに具体的な数字､例えば2とか3などを当てはめてみて、
aやbがたくさん並んでいる所を頭で思い描いてみれば納得するのではないか。
とにかくはやくこの指数の計算をある程度こなしてなれてしまうことが大切。
これを使うことで、複雑な積の計算を行える｡数字の部分は数字だけで､
文字の部分は先の指数計算の法則①～⑤を使って計算する｡
(例) (6x2y)×(-3x2y3)÷(9xy)
={6×(-3)÷9}×x2+2-1×y1+3-1
=-2x3y3 式の乗法除法 a(b+c)=ab+ac･･････①
これを分配法則というが、これを用いて式の掛け算ができる｡
また (a+b)÷c=(a+b)×1/c
=a×1/c+b×1/c
=a/c+b/c･･････② とできるので、多項式を単項式で割ることができる。
また、この様に計算してカッコをなくすことを、展開という。
(例) -3x(4y+3z)を展開するとき
①の式にa=-3x,b=4y,c=3zを入れて考えると､
(与式) =(-3x)×(4y)+(-3x)×(3z)
=-12xy-9xz (x+y)(x-y)を展開するとき
まずa=x+y,b=x,c=-yと考えて、
(与式)=(x+y)×x+(x+y)×(-y) とできる。
さらに(x+y)×x,(x+y)×(-y)を別々に考えると
(与式) =(x2+xy)+(-xy-y2)
=x2+xy-xy-y2 =x2-y2
式の整理の仕方･･････降べきの順 とある文字に注目し次数の高い項からならべていく方法｡
要するに各項のxならx、yならyといった風に決めてその項の中のその文字の累乗の指数の高い順に
ならべること｡
(例)x3+3x2y+3xy2+y3
乗法公式
①m(a+b)=ma+mb
②(a+b)2=a2+2ab+b2
③(a-b)2=a2-2ab+b2
④(a+b)(a-b)=a2-b2
⑤(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
これらは計算を楽にするための公式で、左辺を展開したら確かに右辺に等しくなる｡
これはもう覚えてはやく問題を解いて、なれるしかない｡
(例)(3x+y)2
①の式のaが3x、bがyだと思い込んで
(3x)2+2×3x×y+y2 =9x2+6xy+y2
素因数分解
１とその数しか約数を持たない数を素数というが、とある数をいくつかの素数だけの積の形にする事を
素因数分解という｡
例えば 12=22×3 というように。具体的なやり方としてはまず2で割ったらどうか、
割り切れるとしたら2の何乗まで割り切れるか、次は3はどうか、割り切れるとしたら何乗まで割り切れるか、
次は5はどうか、････････････と小さい素数で割ってゆき最終的に残った数が素数になったらそこでおしまい｡
具体的にやってみよう。
360を素因数分解する｡
まず、2ではどうか。2で割っていくと、１８０、９０、４５、と三回2で割れる｡
ということは360は23で割り切れる｡
次に3ではどうか。45を3で割っていくと、15､5､と二回割れる｡
よって360は32で割れる。
残った数は5で素数なのでこれでおしまい。
よって 360=23×32×5 といえる。
因数分解
因数分解というのは式を単項式、多項式の積の形に直すことである｡
因数分解の公式なる物があるのであげておく｡
①ma+mb=m(a+b)
②a2+2ab+b2=(a+b)2
③a2-2ab+b2=(a-b)2
④a2-b2=(a+b)(a-b)
⑤x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
気付く人も多いと思うが、これは乗法公式の左辺と右辺を取り替えただけのものである｡
というのも、因数分解という作業が、乗法公式を使っての展開と全く逆の作業であるからである｡
では具体的な因数分解のやり方だが､まずすべての項において共通している文字があったらそれでくくる。
(例)4ab+3ac=a(4b+3c)
次に上にあげた公式のどれかが使えるか考える。
これがすんなりとうまく使えない問題も多い。
そういった時はとりあえず共通している文字を持つ項どうしをまとめたり、
式を一つの文字と見たりして解くとうまく行くときもある。
(例１) a3+2a2b+ab2 共通因数aでくくって
=a(a2+2ab+b2) カッコの中は因数分解の公式②と同じ形なので、
=a(a+b)2
(例２) ac+ad+bc+bd 左二つの項はaで、右二つの項はbでくくる。
=a(c+d)+b(c+d) さらに(c+d)でくくる。
=(c+d)(a+b)
ちなみに⑤の因数分解の公式は二次方程式に使われる重要な公式なので
今のうちにしっかり身につけておこう。