二次方程式

前に一次方程式、変数が一つしかない方程式を解く方法を習ったと思うが、
今度は変数の二次項を持つ方程式の解き方をみていこう。
このページを見るにあたって、｢式の計算｣のページの中の｢因数分解｣、
そして｢無理数｣のページは前提条件として絶対に知っておくことが必要である。
まだ、それらを知らない人はちょっとでもいいからこれらのページを見て、
だいたいの知識を持っておくことをお勧めする。
では徐々に段階を追って見ていこう。
ax²-b=0の形（aは0ではない）
xの次数が2の項はあっても次数が1の項はないとき、
ax²=b x²=b/a と、変形できる。
二乗してb/aになるのがxだから、xは±�票b/a]である。
ここで何で解が二つあるのか疑問に思う人もいるかもしれない。
が解というのはその方程式を満たす数という意味であり、
その満たす数が複数あればそれを全て書く必要がある。
ちなみに二次方程式の解は二つ、一つ、または全くない場合もある。

さて次にはax+bx+c=0の形(a,bは0でない)を扱いたいのだが、
その前に、二次式の平方完成という作業を学ぼう。
これは二次方程式以外の範囲でも使うことがあるのでやっておこうと思う。
ax²+bx+cの式があったとき、まずax²とbxの項をaでくくる。
a(x²+(b/a)x)+c･･････�@
さてここで思い出してほしいのが和の二乗の公式 (m+n)²=m²+2mn+n² である。
ここで右辺のm²がx²,2mnが(b/a)xとなるように、a,bを定めるとすると、どうなるか。
m=x,n=b/2aとなるだろう。
また実際m=x,b=b/2aを(m+n)²に代入すると、
(x+b/2a)²
=x²+2(b/2a)x+(b/2a)²
=x²+(b/a)x+(b/2a)² そこで、
下線の引いてある部分を次のように変形する。
x²+(b/a)x
=(x²+(b/a)x+(b²/4a²))-(b²/4a²)
=(x+(b/2a))²-(b²/4a²
これを再び�@の式に代入すると
a{(x+(b/2a))²-(b²/4a²)}+c
=a(x+(b/2a))²+c-a(b²/4a²)
=a(x+(b/2a))²+c-(b²/4a)
=a(x+(b/2a))²-(b²-4ac/4a)
この様にxの一次式の二乗と定数項の和に直すことを平方完成という。
一つ例を挙げよう。
2x²+6x+9 まずx²の係数2でくくる。
2(x²+3x)+9 さらに乗法公式を思い出しつつ、変形する。
カッコの中のxの係数の半分を足して二乗する、というように考えればよい。
この場合xの係数は3だから、
2(x+3/2)²+9-2×(3/2)²
=2(x+3/2)²+9-(9/2)
=2(x+3/2)²+(9/2) となる。
さておまたせした。ここで二次方程式の話に戻ろう。
二次方程式の解き方の一つに解の公式を使うというものがある。
ax²+bx+c=0(aは0でない)があたえられたとき、先の平方完成を使って変形すると、
a(x+(b/2a))²-(b²-4ac/4a)=0 とかける。これをさらにといていくと、
a(x+(b/2a))²=(b²-4ac/4a)
(x+(b/2a))²=(b²-4ac/4^a) x+(b/2a)
=±(�票b²-4ac]/��4a²) x+(b/2a)
=±�票b²-4ac]/2a x
=-b±�票b²-4ac]/2a とxがもとまる。
この式を二次方程式の解の公式という。