三平方の定理の逆
三平方の定理は
「
直角三角形
ならば
ｃ
2
＝ａ
2
＋ｂ
2
が成り立つ。
」
だったよね。
だから、三平方の定理の逆は
「
ｃ
2
＝ａ
2
＋ｂ
2
が成り立てば
直角三角形
である。
」
だね。
これをを証明しよう！
下の
△ＡＢＣ
において、
ｃ
2
＝ａ
2
＋ｂ
2
が成り立っている
とき、
△ＡＢＣ≡△Ａ’Ｂ’Ｃ’
がいえれば
∠Ｃ＝９０°
がいえるから
△ＡＢＣ
は直角三角形
だといえる。
証明
△Ａ’Ｂ’Ｃ’において、∠Ｃ＝９０°より、
△Ａ’Ｂ’Ｃ’は直角三角形である。
三平方の定理より、
ｘ
2
＝ａ
2
＋ｂ
2
…①
また仮定より、
ｃ
2
＝ａ
2
＋ｂ
2
…②
①、②から
ｘ
2
＝ｃ
2
ｘ＞０、ｃ＞０であるから
ｘ＝ｃ
よって、△ＡＢＣと△Ａ’Ｂ’Ｃ’で、三辺の長さがそれぞれ
等しいので
△ＡＢＣ≡△Ａ’Ｂ’Ｃ’
したがって、
∠Ｃ’＝∠Ｃ＝９０°
よって、△ＡＢＣは直角三角形である。
三平方の定理の逆
３辺の長さがａ、ｂ、ｃの三角形におい
て、
ｃ
2
＝ａ
2
＋ｂ
2
ならば、その三角形は
辺ｃを斜辺とする直角三角形である。
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